PENGERTIAN
SUKU BANYAK, NILAI SUKU BANYAK, DAN OPERASI ANTAR-SUKU BANYAK
Pengertian
suku banyak
Suku banyak atau polinom dalam variabel x yang berderajat n
secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
anxn
+ an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2
+ a1x + a0
dengan
:
· an, an-1,
an-2, …, a2, a1, a0 adalah
bilangan-bilangan real dengan an ≠ 0.
an
adalah dari x2, an-1 adalah koefisien dari xn-1,
an-2 adalah koefisie dari xn-2, …., demikian seterusnya.
a0 disebut suku tetap (konstanta).
· n adalah bilangan
cacah yang menyatakan derajat suku banyak.
Derajat dari suatu suku banyak dalam
variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada
dalam suku banyak itu.
Perhatikan bahwa suku-suku pada suku
banyak diatas dawali oleh suku yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi,
yaitu anxn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan
pangkat variabel x yang semakin turun, yaitu an-1xn-1, an-2xn-2,
…., a2x2, a1x dan di akhiri dengan suku tetap
a0. Suku banyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu
dikatakan disusun mengikuti aturan pangkat turun dalam variabel x. Perlu
diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak tidaklah harus dalam variabel
x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel yang lain seperti variabel-variabel
a, b,c …., s, t, u, …., y, z. Misalnya, suku banyak (t + 1)2 (t – 2)
(t + 3) = t4 + 3t3 – 3t2 – 11t – 6 , merupakan
suku banyak dalam variabel t berderajat 4. Koefisien t4 adalah 1,
koefisien t3 adalah 3, koefisien t2 adalah -3, koefisien
t adalah -11 dan suku tetapnya adalah -6.
Suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel di sebut suku banyak
univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak dengan variabel lebih dari
satu di sebut suku banyak multivariabel. Misalnya,
Suku
banyak x3 + x2y4 – 4x + 3y2 – 10,
merupakan suku banyak dalamdua variabel ( variabel x dan y ). Suku banyak ini
berderajat 3 dalam variabel x atau berderajat 4 dalam variabel y.
· Nilai suku banyak
Dalam bentuk umum dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sebagai berikut.
f(x) = anxn + an-1xn-1
+ an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x
+ a0
|
ü Metode Substitusi
Nilai suku banyak untuk sebuah
nilai variabel tertentu dapat dicari dengan aturan metode substitusi sebagai
berikut.
Nilai suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1
+ an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x
+a0 untuk x = k ( k bilangan real ) di tentukan oleh
F(x) = an(k)n + an-1(k)n-1 +
an-2(k)n-2+ … + a2(k)2 + a1(k)
+ a0
|
Contoh
:
Hitunglah
nilai suku banyak f(x) = x3 + 3x2 – x + 5 untuk
nilai-nilai x berikut.
a).
x =
1
b). x = m – 2 (m R)
Jawab :
a).
Untuk x = 1, diperoleh :
f(1) = (1)3 + 3(1)2 – (1) + 5 = 1 + 3 – 1 + 5 = 8
Jadi, nilai f(x) untuk x = 1 adalah f(1) = 8.
b).
Untuk x =m -2 ( m R ), diperoleh :
f(m – 2) = (m – 2)3 + 3(m – 2)2 – (m -2) + 5 = m3
– m2 – 5m + 11
Jadi, nilai f(x) untuk x = m – 2 (m R) adalah f(m – 2) = m3 –
m2 – 5m + 11.
· OPERASI ANTAR -
SUKU BANYAK
A.
Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian
Penjumlahan atau pengurangan
sukubanyak f(x) dengan sukubanyak g(x) dapat ditentukan dengan cara
menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yangn sejenis dari kedua suku
banyak itu. Sedangkan perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) dapat
ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu. Dalam
mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat distributif
perkalian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun distributif
perkalian terhadap pengurangan.
Contoh :
Diketahui
dua buah sukubanyak f(x) dan g(x) dinyatakan dengan aturan
f(x)
= x3 + x2 – 4 dan g(x) = x3 – 2x2 +
x + 2
a)
Tentukan f(x) + g(x) serta derajatnya.
b)
Tentukan f(x) – g(x) serta derajatnya.
c)
Tentukan f(x) ∙ g(x) serta derajatnya.
Jawab :
a).
f(x) + g(x) = (x3 + x2 – 4) + (x3 – 2x2
+ x + 2)
↔ f(x) + g(x) = (x3 + x3) + (x2 – 2x2)
+ x + (-4 + 2)
↔ f(x) + g(x) = 2x3 – x2 + x – 2
Jadi, f(x) + g(x) = 2x3 – x2 + x – 2 dan f(x) + g(x)
berderajat 3.
b).
f(x) – g(x) = (x3 + x2 – 4) – (x3 – 2x2
+ x + 2)
↔ f(x) – g(x) = (x3 – x3) + (x2 –(-2x2))
– x + (-4 – 2)
↔ f(x) – g(x) = 3x2 – x – 6
c).
f(x) ∙ g(x) = (x3 + x2 – 4) (x3 -2x2
+ x + 2)
↔ f(x) ∙ g(x) = x3 (x3 – 2x2 + x + 2) + x2
(x3 – 2x2 + x + 2) – 4(x3 – 2x2 + x
+ 2)
↔f(x) ∙ g(x) = x6 – 2x5 + x4 + 2x3
+ x5 – 2x4 + x3 +2x2 – 4x3
+ 8x2 – 4x -8
↔f(x) ∙ g(x) = x6 + (-2x5 + x5) + (x4
– 2x4) + (2x3 + x3 – 4x3) + (2x2
+ 8x2) – 4x - 8
↔f(x) ∙ g(x) = x6 – x5 – x4 – x3 +
10x2 – 4x - 8
Jadi, f(x) ∙ g(x) = x6 – x5 – x4 – x3
+ 10x2 – 4x – 8 dan f(x) ∙ g(x) berderajat 6.
B.
Kesamaan Suku Banyak
f(x) ≡ g(x)
≡ dibaca “kesamaan”.
|
Contoh :
Tentukan
nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) +
3a.
Jawab :
Jabarkan
bagian ruas kanan kesamaan
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + 2 + 3a
x2 – 3x + 14 ≡ x2 – 3x + (2 + 3a)
Dengan
menggunakan sifat kesamaan suku banyak, di peroleh :
14 = 2 +3a
↔
a = 4
Jadi,
nilai a pada kesamaan x2 – 3x + 14 ≡ (x – 1) (x – 2) +
3a adalah 4.
· PEMBAGIAN SUKU
BANYAK
Hubungan
antara yang Dibagi, Pembagi, Hasil bagi, dan Sisa Pembagian
Sebagai
ilustrasi, misalnya bilangan 4.369 dibagi dengan 14 dapat diselesaikan dengan
metode bersusun pendek seperti di perlihatkan pada bagan di bawah. Dari bagan
ini terlihat bahwa 4.369 dibagi dengan 14 memberikan hasil bagi 312 dengan sisa
pembgian 1.
4.369 =
14
x
312 + 1
↑
↑
↑
↑
Yang
dibagi
Pembagi hasil
bagi sisa pembagian
Dengan
demikian, dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut.
Yang
dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa pembagian
|
Contoh :
a).
Dengan menggunakan metode bersusun pendek, carilah hasil bagi dan sisa pada
pembagian suku banyak f(x) = x3 + 2x2 + 3x – 5 oleh (x –
2) !
Jawab :
x2 + 4x +
11
hasil bagi
x – 2 x3 + 2x2
+ 3x – 5
yang dibagi
x3 – 2x2
Pembagi 4x2 + 3x
4x2 – 8x
11x - 5
11x - 22
17 sisa pembagian
ü Pembagian Suku banyak
dengan Pembagi Berbentuk Linear
Cara yang akan digunakan untuk membagi suku banyak dengan pembagi berbentuk
linear di kenal sebagai Metode Horner. Ada 2 macam pembagi berbentuk linear
yang akan dibicarakan disini, yaitu pembagi berbentuk (x – k) dan (ax + b).
Pembagian
Suku banyak dengan (x – k)
Persamaan yang menghubungkan suku banyak yang dibagi f(x) dengan suku banyak
pembagi (x – k), suku banyak hasil bagi H(x), dan sisa pembagian S adalah
f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S
|
Menentukan hasil bagi H(x) dan sisa
pembagian S pada pembagian suku banyak f(x) oleh (x – k) dengan menggunakan
bantuan bagan atau skema dikenal sebagai metode pembagian sintetik atau metode
horner.
Contoh :
Tentukan
hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = x4 + x3
– 2x2 + x + 2 dengan x + 2.
Jawab :
f(x)
= x4 + x3 – 2x2 + x + 2, maka a4 =
1, a3 = 1, a2 = -2, a1 = 1, dan a0
= 2. Pembagian x + 2 berarti k = -2
Bagan
atau skemanya diperhatikan dibawah ini.
-2 1
1
-2
1
2
+
+
+
+
0
|
1
-1
0
1
Berdasarkan
bagan diatas, diperoleh hasil bagi H(x) = x3 – x2 + 1 dan
sisa S = 0.
Jadi, pembagian f(x) = f(x) = x4
+ x3 – 2x2 + x + 2 oleh x + 2 memberikan hasil bagi H(x)
= x3 – x2 + 1 dan sisa pembagian S = 0.
ü Pembagian Suku banyak
dengan (ax + b)
Misalkan k adalah bilangan rasional
yang ditentukan oleh k = - , sehingga bentuk x – k menjadi x – (- ) = x +
. Jika suku banyak f(x) dibagi dengan x + memberikan hasilnya H(x) dan
sisa pembagian S, maka diperolah hubungan.
f(x) = (x + ) ∙ H(x) + S
|
Berdasarkan persamaan tersebut
terlihat bahwa hasil bagi H(x) dan sisa S dapat di tentukan dengan metode
pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k harus diganti dengan
- .
f(x)
= (x +
) ∙ H(x) + S
f(x)
=
(ax + b) ∙ H(x) + S
f(x)
= (ax + b) ∙
+ S
Persamaan tersebut menunjukkan bahwa
suku banyak f(x) dibagi dengan (ax + b) memberikan hasil bagi
dan sisa pembagian S.
Koefisien-koefisien dari H(x) dan sisa S dapat ditentukan dengan metode
pembagian sintetik atau metode horner, hanya saja nilai k harus diganti dengan
k = -
Contoh :
Tentukan
hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = 3x3 + x2
+ x + 2 dengan (3x – 2).
Jawab :
f(x)
= 3x3 + x2 + x + 2, maka a3 = 3, a2 =
1, a1 = 1, dan a0 = 2
Bentuk
(3x – 2) dapat ditulis menjadi 3(x -
), berarti a = 3, dan k =
. Bagan atau skemanya
diperlihatkan dibawah ini.
3
1
1 2
+
+ +
4
|
3
3
3
Berdasarkan bagan diatas, diperoleh hasil bagi =
=
+ x + 1 dan sisa S = 4.
3
Jadi,
pembagian suku banyak f(x) = = 3x3 + x2 + x + 2 dengan
(3x – 2) memberikan hasil bagi x2 + x + 1 dengan sisa pembagian S =
4.
ü Pembagian Suku banyak
Dengan Pembagi Berbentuk Kuadrat
Misalkan
suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c (a ≠ 0 dan bentuk ax2
+ bx + c dapat difaktorkan atau yang tidak dapat difaktorkan), maka hasil bagi
dan sisa pada pembagian suku banyak itu dapat ditentukan dengan metode
pembagian bersusun pendek yang pernah dipelajar sebelumnya.
Contoh :
Tentukan
hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x3
– 5x2 + x – 6 dengan x2 – x – 2.
Jawab
:
x2 – 2x -
5
hasil bagi
x2
– x – 2 x4 – 3x3 – 5x2 + x –
6 yang dibagi
x4
– x3 – 2x2
-2x3 – 3x2 + x
Pembagi
-2x3 + 2x2 + 4x
-5x2 – 3x – 6
-5x2 + 5x + 10
-8x - 16
Sisa Pembagian
Berdasarkan
bagan tersebut, suku banyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2
+ x – 6 dapat di tuliskan sebagai :
x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2) (x2 – 2x – 5) + (-8 – 16)
yang di
bagi pembagi hasil
bagi sisa pembagian
Jadi,
pembagian suku banyak f(x) = x4 – 3x3 – 5x2 +
x – 6 dengan x2 – x – 2 memberikan hasil bagi x2 – 2x – 5
dengan sisa pembagian -8x – 16.
TEOREMA
SISA
Misalkan suku banyak f(x) dibagi
dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dengan sisa pembagian S(x). Persamaan
yang menyatakan hubungan antara f(x) dengan P(x), H(x), dan S(x) adalah:
f(x) = P(x) ∙ H(x) + S(x)
|
dengan :
· f(x) sebagai suku
banyak yang dibagi, misalnya diketahui berderajat n.
· P(x) sebagai suku
banyak pembagi, misalnya diketahui berderajat m dan m ≤ n.
· H(x) sebagai suku
banyak hasil bagi, berderajat (n-m) yaitu derajat suku banyak yang di bagi
dikurangi dengan derajat suku banyak pembagi.
· S(x) sebagai suku
banyak sisa pembagian, berderajat paling tinggi atau maksimum (m – 1) yaitu
berderajat maksimum satu kurangnya dari derajat suku bayak pembagi.
Pembagi
Berbentuk (x – k)
Jika
suku banyak pembagi P(x) = (x – k), maka persamaan sebelumnya dapat ditulis
menjadi
f(x)
= (x – k) ∙ H(x) + S
|
Persamaan
ini berlaku untuk semua bilangan real x.
Karena
suku banyak pembagi P(x) = (x – k) berderajat satu, maka sisa pembagian S
maksimum berderajat nol, yaitu sebuah konstanta yang tidak memuat x. Sisa
pembagian S di tentukan dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema 1
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x – k) maka sisanya
di tentukan oleh
S = f(k)
|
Teorema
tersebut dikenal sebagai Teorema sisa atau Dalil sisa
Bukti Teorema 1
Perhatikan
kembali persamaan, f(x) = (x – k) ∙ H(x) + S.
Karena
persamaan itu berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan menyulihkan atau
substitusi x = k kedalam persamaan itu, diperoleh :
f(k)
= (k – k) ∙ H(k) + S = 0 ∙ H(k) + S = 0 + S
ó S = f(k)
Jadi,
terbukti bahwa sisa pembagian S = f(k).
Contoh :
Tentukan
sisa pembagian suku banyak f(x) = x4 – 6x3 – 6x2
+ 8x + 6 dibagi dengan
Jawab :
Suku
banyak f(x) = x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6 dibagi
dengan x – 2, sisanya adalah S = f(2). Nilai f(2) dapat dihitung dengan dua
metode, yaitu :
1.
Metode Substitusi
f(2)
= (2)4 – 6(2)3 – 6(2)2 + 8(2) + 6
f(2)
= 16 – 48 – 24 + 16 + 6 = -34.
,
sisa pembagiannya adalah S = f(2) = -34.
2.
Metode Bagan / Skema
f(x)
= x4 – 6x3 – 6x2 + 8x + 6, maka a4
= 1, a3 = -6, a2 = -6, a1 = 8, dan a0
= 6
Pembaginya
x – 2, berarti k = 2, sehingga bagan atau skemanya diperlihatkan sebagai
berikut ini.
2
1
-6
-6
8
6
+
+
+
+
-34 = f(2)
|
1
-4
-14
-20
Dari
bagan diatas diperoleh f(2) = -34.
Jadi,
sisa pembagian S = f(2) = -34.
Pembagi
Berbentuk (ax + b)
Dalam pembahasan sebelumnya telah ditunjukkan bahwa pembagian suku banyak f(x)
dengan (ax + b) memberikan hasil bagi dan sisa pembagian S. Pernyataan
ini dituliskan dalam persamaan berikut.
f(x) = (ax + b) ∙
+ S
|
Persamaan
diatas berlaku untuk semua bilangan real x.
Nilai sisa pembagian S ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.
Teorema 2
Jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka
sisanya ditentukan oleh
S = f(-
)
|
Bukti Teorema 2
Perhatikan
kembali persamaan : f(x) = (ax + b) ∙ + S
Persamaan
ini berlaku untuk semua bilangan real x, maka dengan substitusi x = ke
persamaan itu diperoleh:
f(-
) = {a (-
) + b} ∙
+ S = {- b + b} ∙
+ S
↔ f( -
) = 0 ∙
+ S = 0 + S
↔
S = f( -
)
Jadi,
terbukti bahwa sisa pembagian S = f( -
).
Contoh :
Tentukan
sisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4
dengan 2x + 1.
Jawab :
Suku
banyak f(x) = 2x3 + 9x2 – 6x + 4 dibagi dengan 2x + 1,
sisanya adalah S = f(-
). Nilai f(-
) dapat dihitung dengan dua metode, yaitu :
1.
Metode Substitusi
f(-
) = 2 (-
)3 + 9(-
)2 – 6( -
) + 4
f(-
) = -
+
+ 3 + 4 = 9
Jadi,
sisa pembagiaannya adalah S = f(-
) = 9
2.
Metode bagan / skema
f(x)
= 2x3 + 9x2 – 6x + 4, maka a3 = 2, a2
= 9, a1 = - 6, a0 = 4
Bentuk
(2x + 1) dapat ditulis menjadi 2(x +
), berarti a = 2 dan k = -
.
Bagan
atau skemanya diperlihatkan berikut ini.
-
2
9
-6 4
+ +
+
9 = f(-
)
|
2
8
-10
Dari
bagan diatas diperoleh f( -
) = 9.
Jadi,
sisa pembagiannya adalah S = f( -
)= 9.
Dari
bagan diatas sekaligus juga ditemukan koefisien-koefisien dari H(x), sehingga
H(x) = 2x2 + 8x – 10 dan hasil baginya adalah
=
= x2 + 4x – 5.
TEOREMA
FAKTOR
Pengertian
Faktor dan Teorema faktor
Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak, (x – k) adalah faktor dari
f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
|
Teorema
tersebut dikenal sebagai teorema faktor. Dalam teorema faktor memuat kata
hubung jika dan hanya jika, Sehingga teorema faktor
adalah sebuah teorema faktor itu dapat dibaca sebagai berikut.
1.
Jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0 dan
2.
Jika f(k) = 0 maka (x – k) adalah faktor dari f(x).
Bukti Teorema 3
1.
Misalkan (x – k) adalah faktor dari f(x), maka f(x) dapat dituliskan sebagai
f(x)
= (x – k) ∙ H(x)
dengan
H(x) adalah suku banyak hasil bagi dengan bentuk tertentu.
Substitusi
nilai x = kedalam persamaan f(x) = (x – k) ∙ H(x), sehingga diperoleh :
f(k)
= (k – k) ∙ H(k)
↔
f(k) = 0 ∙ H(k)
↔
f(k) = 0
Jadi,
jika (x – k) adalah faktor dari f(x) maka f(k) = 0.
2.
Misalkan f(x) dibagi dengan (x – k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa f(k).
Dengan menggunakn teorema 1, pernyataan ini dapat ditulis sebagai
f(x)
= (x – k) ∙ H(x) + f(k)
untuk
f(k) = 0, persamaan diatas berubah menjadi
f(x)
= (x – k) ∙ H(x)
Hubungan
ini menunjukkan bahwa (x – k) adalah faktor dari f(x).
Berdasarkan
uraian 1 dan 2 terbukti bahwa :
(x
– k) adalah faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0.
Contoh :
Tunjukkan
bahwa (x + 2) adalah faktor dari suku banyak f(x) = x4 + 3x3
+ 4x2 + 8x +
8.
Jawab :
Untuk
menunjukkan bahwa (x + 2) adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3
+ 4x2 + 8x + 8, cukup ditunjukkan bahwa nilai f(- 2) = 0
f(-2)
= (- 2)4 + 3 (- 2)3 + 4 (- 2)2 + 8 (- 2) + 8 =
16 – 24 + 16 – 16 + 8 = 0
karena
f(- 2) = 0, maka (x + 2) adalah faktor dari f(x) = x4 + 3x3
+ 4x2 + 8x + 8.
Menentukan
Faktor-Faktor Suatu Suku Banyak
Langkah 1
Jika
(x – k) adalah faktor dari suku banyak f(x) = anxn + an-1xn-1
+ … + a2x2 + a1x + a0 maka
nilai-nilai k yang mungkin adalah nilai faktor-faktor bulat dari a0.
Langkah 2
Dengan
cara coba-coba, substitusikan nilai x = k sehingga diperoleh f(x) = 0. Jika
demikian maka (x – k) adalah faktor dari f(x). Akan tetapi jika f(k) ≠ 0 maka
(x – k) bukan faktor dari f(x).
Langkah 3
Setelah
dipeeroleh sebuah faktor (x – k), faktor-faktor yang lain dapat ditentukan dari
suku banyak hasil bagi f(x) oleh (x – k).
Contoh :
Carilah
faktor-faktor dari suku banyak f(x) = x3 – 13x + 12, kemudian
tuliskan suku banyak itu dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya.
Jawab :
f(x)
= x3 – 13x + 12, maka suku tetapan a0 = 12
Nilai-nilai
k yang mungkin adalah faktor bulat dari a0 = 12, yaitu ±1, ±2, ±3,
±4, ±6 dan ±12
Subtitusikan
nilai-nilai x = k, sehingga diperoleh f(k). Jika f(k) = 0 maka (x – k)
adalah faktor dari f(x), tetapi jika f(k) ≠ 0 maka (x – k) bukan faktor dari
f(x).
· Untuk nilai k =
-1, diperoleh :
f(-
1) = (- 1)3 – 13(- 1) + 12 = -1 + 13 + 12 = 24 ≠ 0
(x
+ 1) bukan faktor dari f(x).
· Untuk nilai
k = 1, diperoleh :
f(-
1) = (1)3 – 13(1) + 12 = 1 – 13 + 12 = 0
(x
– 1) adalah faktor dari f(x).
Hasil
bagi f(x) = x3 – 13x + 12 oleh (x – 1) ditentukan dengan metode
pembagian sintetik.
1
1
0
-13 12
+ +
+
1
1 -12
1 1
-12 0
Dari
bagan tersebut terlihat bahwa hasil baginya adalah x2 + x – 12 dan
bentuk ini dapat di faktorkan menjadi (x – 3)(x + 4).
Jadi,
faktor – faktor linear, dari f(x) = x3 – 13x – 12 dan bentuk ini
dapat difaktorkan menjadi (x – 3)(x + 4).
Jadi,
faktor – faktor linear dari f(x) = x3 – 13x + 12 adalah (x – 1)(x –
3)(x + 4)
PENYELESAIAN PERSAMAAN SUKUBANYAK
~
Akar-Akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak
Misalkan f(x) adalah sebuah suku banyak. (x – k ) adalah faktor dari
f(x) jika dan hanya jika k adalah akar dari f(x) = 0. k disebut akar atau
nilai nol dari persamaan suku banyak f(x) = 0
|
Contoj :
Tunjukkan
bahwa salah satu akar persamaan suku banyak x3 – 7x – 6 = 0 adalah
3. Kemudian tentukan akar- akar yang lain.Jawab :
· Misalkan f(x) = x3
– 7x – 6. Untuk menunjukkan bahwa 3 adalah akar dari f(x) = 0, cukup
dperlihatkan bahwa f(3) = 0
Karena f(3) = 0, maka 3 adalah akar dari persamaan f(x) = x3 – 7x –
6 = 0
· Untuk menentukan akar-akar yang
lain, dicari terlebih dahulu hasil bagi f(x) = x3 – 7x – 6 dengan x
– 3. Hasil bagi itu ditentukan dengan metode pembagian sintetik sebagai berikut
3 1
0
-7 -6
+
+ +
3
9 6
1
3
2 0
Hasil
baginya adalah H(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2).
Jadi,
akar-akar yang lainnya adalah x = -1 dan x = -2.
Teorema Akar-Akar Rasional
Misalkan f(x) = anxn + an-1xn-1
+ … + a2x2 + a1x + a0 adalah
sebuah persamaan suku banyak dengan koefisien-koefisien bulat. Jika
adalah akar rasional dari f(x) = 0, maka c adalah faktor bulat
positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari an.
|
Langkah 1
Mula-mula
ditentukan akar-akar yang mungkin dari persamaan suku banyak f(x) = 0, yaitu ,
c adalah faktor bulat positif dari a0 dan d adalah faktor bulat dari
an.
Langkah 2
Dari
himpunan akar-akar yang mungkin yang diperoleh dari langkah 1, akar-akar yang
sebenarnya harus memenuhi syarat f (
) = 0.
Contoh :
Tentukan
akar-akar persamaan suku banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2
= 0
Jawab :
f(x)
= (x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0, a3 = 1 dan a0
=-2
Akar-akar
yang mungkin adalah -2, -1, 1 dan 2.
Menguji
nilai-nilai akar yang mungkin.
· f(-2) = (-2)3
– 6(-2)2 + 9(-2) – 2 = -52 ≠ 0, maka -2 bukan akar f(x) = 0
· f(-1) = (-1)3
– 6(-1)2 + 9(-1) – 2 = -18 ≠ 0, maka -1 bukan akar f(x) = 0
· f(1) = (1)3
– 6(1)2 + 9(1) – 2 = 2 ≠ 0, maka 1 bukan akar f(x) =0
· f(2) = (2)3
– 6(2)2 + 9(2) – 2 = 0, maka 2 adalah akar dari f(x) = 0
Menentukan
akar-akar irasional
Karena
2 adalah akar dari f(x) = 0, maka f(x) dapat dituliskan menjadi
f(x)
= x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0 = (x – 2) x2 – 4x + 1
= 0
bentuk
kuadrat ini merupakan hasil bagi
x3
– 6x2 + 9x – 2 dengan x – 2
akar-akar
irasionalnya ditentukan dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 1 = 0.
Dengan
menggunakan rumus kuadrat diperoleh x = 2 - √3 atau x = 2 + √3.
Jadi,
persamaan suku banyak f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 2 = 0
mempunyai akar
Rasional
2 dan akarirasional 2 - √3 atau 2 + √3, ditulis himpunan penyelesaiannya
HP
= { 2, 2 - √3, 2 + √3 }
Tidak ada komentar:
Posting Komentar